Что сказала черепаха Ахиллу (парадокс)

«Что сказала черепаха Ахиллу», написанное Льюисом Кэрроллом в 1895 году для философского журнала «Mind», представляет собой краткий аллегорический диалог об основах логики. Название отсылает к одному из парадоксов движения Зенона, в котором Ахилл никогда не смог бы обогнать черепаху в гонке. В диалоге Кэрролла черепаха бросает Ахиллу вызов, предлагая ему использовать силу логики, чтобы заставить его принять вывод простого дедуктивного рассуждения. В конечном итоге Ахилл терпит неудачу, потому что хитрая черепаха приводит его к бесконечной регрессии.

Льюис Кэрролл

Краткое содержание диалога

Обсуждение начинается с рассмотрения следующего логического аргумента:

• А: «Вещи, равные друг другу, равны» (евклидово отношение).
• B: «Две стороны этого треугольника равны одному и тому же».
• Следовательно, Z: «Две стороны этого треугольника равны друг другу».

Черепаха принимает предпосылки А и В как истинные, но не гипотетическую:

• C: «Если A и B истинны, то Z должно быть истинным»

Черепаха утверждает, что у неё нет «никакой логической необходимости принимать Z как истину». Затем черепаха бросает вызов Ахиллу, предлагая ему логически заставить её принять Z как истину. Вместо того чтобы искать причины, по которым черепаха не принимает C, Ахилл просит её принять C, что она и делает. После этого Ахилл говорит:

• D: «Если A, B и C истинны, то Z должно быть истинным»

Черепаха отвечает: «Это еще одна гипотетическая ситуация, не так ли? И если бы я не увидел в ней истинности, я бы, возможно, принял А, В и С, и все равно не принял бы Z, не так ли?»

И снова, вместо того чтобы спрашивать причины отказа от D, он просит черепаху принять D. И снова она «вполне готова согласиться», но все еще отказывается принять Z. Затем она говорит Ахиллу записать в свою книгу,

• E: Если A, B, C и D верны, то Z должно быть верным.

После этого Черепаха говорит: «Пока я не предоставлю это [т.е., E], конечно, мне не нужно предоставлять Z. Поэтому это совершенно необходимый шаг». С оттенком грусти Ахиллес понимает суть.

Рассказ заканчивается предположением, что список предпосылок продолжает расти бесконечно, но без объяснения причины регресса.

Объяснение

Льюис Кэрролл показал, что существует регрессивная проблема, возникающая из дедукции modus ponens:

;

Иными словами: утверждение P (истинно) подразумевает Q (истинно), и, если дано P, то Q.

Проблема регресса возникает потому, что для объяснения логических принципов требуется априорный принцип, в данном случае modus ponens, и как только этот принцип объяснен, требуется другой принцип для его объяснения. Таким образом, если цепочка аргументации должна продолжаться, аргументация попадает в бесконечный регресс. Однако, если ввести формальную систему, в которой modus ponens является просто правилом вывода, определенным внутри системы, то его можно соблюдать, просто рассуждая внутри системы. Это не означает, что рассуждения пользователя в соответствии с этой формальной системой согласуются с этими правилами (рассмотрим, например, отказ конструктивистов от закона исключенного третьего и отказ диалетеистов от закона непротиворечия). Таким образом, формализация логики как системы может рассматриваться как ответ на проблему бесконечного регресса: modus ponens помещается в качестве правила внутри системы, а действительность modus ponens отвергается вне системы.

В пропозициональной логике логическая импликация определяется следующим образом:

Утверждение "P подразумевает Q" тогда и только тогда, когда утверждение "не P или Q" является тавтологией.

Следовательно, modus ponens, [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, является допустимым логическим заключением согласно только что приведенному определению логической импликации. Доказательство логической импликации сводится к проверке того, что составная таблица истинности порождает тавтологию. Но черепаха не принимает на веру правила пропозициональной логики, на которых основано это объяснение. Она просит, чтобы и эти правила были подвергнуты логическому доказательству. Черепаха и Ахиллес не пришли к согласию ни в одном определении логической импликации.

Кроме того, в рассказе намекается на проблемы с пропозициональным решением. В системе пропозициональной логики ни одно утверждение или переменная не несут в себе семантического содержания. Как только какое-либо утверждение или переменная приобретает семантическое содержание, проблема возникает снова, поскольку семантическое содержание выходит за пределы системы. Таким образом, если решение считается работающим, то оно должно считаться работающим исключительно в рамках данной формальной системы, а не в каком-либо другом случае.

Некоторые логики (Кеннет Росс, Чарльз Райт) проводят четкое различие между условной связкой и отношением импликации. Для обозначения условной связки они используют фразу «не p или q», а для утверждаемого отношения импликации — термин «подразумевает».