Парадокс ворона

Парадокс ворона, также известный как «парадокс Хемпеля», «вороны Хемпеля» или, реже, «парадокс орнитологии в помещении», — это парадокс, возникающий из вопроса о том, что является доказательством истинности утверждения. Наблюдение за объектами, которые не являются ни черными, ни воронами, может формально увеличить вероятность того, что все вороны черные, хотя интуитивно эти наблюдения не связаны между собой.

Эта проблема была предложена логиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах для иллюстрации противоречия между индуктивной логикой и интуицией.

Парадокс ворона

Парадокс

Хемпель описывает парадокс в терминах гипотезы:

(1) Все вороны черные. В форме импликации это можно выразить так: Если что-то — ворон, то оно черное.

Путем контрапозиции это утверждение эквивалентно :

(2) Если что-то не черное, то это не ворон.

При любых обстоятельствах, когда (2) истинно, (1) также истинно — и аналогично, при любых обстоятельствах, когда (2) ложно (т. е., если представить себе мир, в котором существовало нечто, не являющееся черным, но являющееся вороном), (1) также ложно.

Если взять общее утверждение, например, «все вороны черные», то вариант этого же утверждения, ссылающийся на конкретный наблюдаемый пример из этого общего класса, обычно будет считаться доказательством этого общего утверждения. Например,

(3) Мой домашний ворон черный.

Это доказательство, подтверждающее гипотезу о том, что все вороны черные.

Парадокс возникает, когда тот же процесс применяется к утверждению (2). Увидев зеленое яблоко, можно заметить:

(4) Это зеленое яблоко не черное, и это не ворон.

По той же логике, это утверждение является доказательством того, что (2) если что-то не черное, то это не ворон. Но поскольку (как указано выше) это утверждение логически эквивалентно (1) все вороны черные, отсюда следует, что вид зеленого яблока является доказательством, подтверждающим идею о том, что все вороны черные. Этот вывод кажется парадоксальным, поскольку он подразумевает, что информация о воронах была получена путем рассматривания яблока.

Предложенные резолюции

Критерий Никода гласит, что только наблюдения за воронами должны влиять на мнение о том, все ли вороны черные. Наблюдение большего количества случаев появления черных воронов должно подтверждать эту точку зрения, наблюдение белых или цветных воронов должно ее опровергать, а наблюдения за не-воронами не должны оказывать никакого влияния.

Условие эквивалентности Хемпеля гласит, что если утверждение X предоставляет доказательства в пользу другого утверждения Y, то X также предоставляет доказательства в пользу любого утверждения, которое логически эквивалентно Y.

Парадокс показывает, что критерий Никода и условие эквивалентности Хемпеля не являются взаимно непротиворечивыми. Разрешение парадокса должно отвергнуть по крайней мере один из:

• негативные примеры, не оказывающие никакого влияния (!PC),
• Условие эквивалентности (EC), или,
• валидация с помощью положительных примеров (NC).

Удовлетворительное решение должно также объяснить, почему наивно кажется, что существует парадокс. Решения, принимающие парадоксальный вывод, могут сделать это, представив утверждение, которое мы интуитивно знаем как ложное, но которое легко спутать с (PC), в то время как решения, отвергающие (EC) или (NC), должны представить утверждение, которое мы интуитивно знаем как истинное, но которое легко спутать с (EC) или (NC).

Признание не-воронов релевантными

Хотя этот вывод из парадокса кажется нелогичным, некоторые подходы признают, что наблюдения за (окрашенными) не-воронами могут фактически представлять собой достоверное доказательство в поддержку гипотез о (всеобщей черноте) воронов.

Резолюция Хемпеля

Сам Хемпель признал парадоксальный вывод, утверждая, что причина, по которой результат кажется парадоксальным, заключается в том, что мы обладаем предварительной информацией, без которой наблюдение за нечерным не-вороном действительно подтвердило бы, что все вороны черные.

Он иллюстрирует это примером обобщения «Все соли натрия горят желтым» и просит нас рассмотреть наблюдение, которое происходит, когда кто-то держит кусок чистого льда в бесцветном пламени, которое не становится желтым:

• Этот результат подтвердил бы утверждение: «Все, что не горит желтым, не является солью натрия», и, следовательно, в силу условия эквивалентности, подтвердил бы первоначальную формулировку. Почему это кажется нам парадоксальным? Причина становится ясна, когда мы сравниваем предыдущую ситуацию со случаем эксперимента, в котором объект, химический состав которого нам пока неизвестен, помещают в пламя, и он не желтеет, а последующий анализ показывает, что он не содержит соли натрия. Этот результат, несомненно, следует признать ожидаемым на основе гипотезы... таким образом, полученные здесь данные представляют собой подтверждающее доказательство гипотезы.
• В кажущихся парадоксальными случаях подтверждения мы часто на самом деле не оцениваем отношение данных доказательств, E, только к гипотезе H… мы неявно вводим сравнение H с совокупностью доказательств, которая состоит из E в сочетании с дополнительным количеством информации, которая случайно оказалась в нашем распоряжении; в нашем примере эта информация включает знание (1) того, что вещество, используемое в эксперименте, — это лед, и (2) того, что лед не содержит соли натрия. Если мы примем эту дополнительную информацию как данность, то, конечно, результат эксперимента не сможет усилить рассматриваемую гипотезу. Но если мы будем осторожны и избежим этой неявной ссылки на дополнительные знания… парадоксы исчезнут.

Стандартное байесовское решение

Одно из наиболее популярных предложенных решений состоит в том, чтобы принять вывод о том, что наблюдение за зеленым яблоком свидетельствует о том, что все вороны черные, но при этом утверждать, что количество подтверждающих доказательств очень мало из-за большого расхождения между количеством воронов и количеством нечерных объектов. Согласно этому решению, вывод кажется парадоксальным, поскольку мы интуитивно оцениваем количество доказательств, предоставляемых наблюдением за зеленым яблоком, как равное нулю, тогда как на самом деле оно не равно нулю, но чрезвычайно мало.

Представление этого аргумента И. Дж. Гудом в 1960 году является, пожалуй, наиболее известным, и с тех пор вариации этого аргумента пользуются популярностью, хотя он был представлен еще в 1958 году, а ранние формы аргумента появились еще в 1940 году.

Аргумент Гуда заключается в вычислении веса доказательств, предоставляемых наблюдением за черным вороном или белой туфлей в пользу гипотезы о том, что все вороны в коллекции предметов черные. Вес доказательств — это логарифм байесовского фактора, который в данном случае просто представляет собой коэффициент, на который изменяется вероятность гипотезы при наблюдении.

Подход Карнапа

Махер принимает парадоксальный вывод и уточняет его:

• Не ворон (независимо от цвета оперения) подтверждает, что все вороны черные, потому что
• (i) информация о том, что этот объект не является вороном, исключает возможность того, что этот объект является контрпримером к обобщению, и
• (ii) это снижает вероятность того, что ненаблюдаемые объекты являются воронами, тем самым уменьшая вероятность того, что они являются контрпримерами к обобщению.

Для достижения (ii) он обращается к теории индуктивной вероятности Карнапа, которая (с байесовской точки зрения) представляет собой способ присвоения априорных вероятностей, естественным образом реализующий индукцию.

Роль фоновых знаний

Большая часть обсуждения парадокса в целом и байесовского подхода в частности сосредоточена на значимости фоновых знаний. Удивительно, но Махер показывает, что для большого класса возможных конфигураций фоновых знаний наблюдение за нечерным не-вороном дает точно такое же количество подтверждения, как и наблюдение за черным вороном. Конфигурации фоновых знаний, которые он рассматривает, — это те, которые предоставляются примерным утверждением, а именно утверждением, представляющим собой конъюнкцию атомарных утверждений, каждое из которых приписывает один предикат одному индивиду, причем никакие два атомарных утверждения не включают одного и того же индивида. Таким образом, утверждение вида «А — черный ворон, а В — белый ботинок» можно считать примерным утверждением, взяв «черный ворон» и «белый ботинок» в качестве предикатов.

Доказательство Махера, по-видимому, противоречит результату байесовского аргумента, который заключался в том, что наблюдение за нечерным не-вороном дает гораздо меньше доказательств, чем наблюдение за черным вороном. Причина в том, что фоновые знания, которые используют Гуд и другие, не могут быть выражены в форме выборочного утверждения — в частности, варианты стандартного байесовского подхода часто предполагают (как это сделал Гуд в приведенном выше аргументе), что общее количество воронов, не-черных объектов и/или общее количество объектов являются известными величинами. Махер отмечает: «Причина, по которой мы считаем, что не-черных объектов больше, чем воронов, заключается в том, что это было верно для тех объектов, которые мы наблюдали до настоящего времени. Доказательства такого рода могут быть представлены выборочным утверждением. Но... если в качестве фонового доказательства использовать любое выборочное утверждение, не-черный не-ворон подтверждает утверждение А так же сильно, как и черный ворон... Таким образом, мой анализ предполагает, что этот ответ на парадокс [т.е. стандартный байесовский ответ] не может быть правильным».

Оспаривание индукции на основании положительных примеров

Некоторые подходы к разрешению парадокса сосредоточены на индуктивном этапе. Они оспаривают, является ли наблюдение конкретного случая (например, одного черного ворона) тем видом доказательства, которое обязательно повышает уверенность в общей гипотезе (например, что вороны всегда черные).

Красная селедка Гуд приводит пример фоновых знаний, относительно которых наблюдение за черным вороном уменьшает вероятность того, что все вороны черные:

Предположим, мы знаем, что находимся в одном из двух миров, и рассматриваемая гипотеза H заключается в том, что все вороны в нашем мире черные. Мы заранее знаем, что в одном мире есть сто черных воронов, ни одного нечерного ворона и миллион других птиц; а в другом мире есть тысяча черных воронов, один белый ворон и миллион других птиц. Из всех птиц нашего мира случайным образом с равной вероятностью выбирается одна птица. Оказывается, это черный ворон. Это убедительное доказательство... того, что мы находимся во втором мире, где не все вороны черные.

Гуд делает вывод, что белая туфля — это «отвлекающий маневр»: иногда даже черный ворон может служить доказательством против гипотезы о том, что все вороны черные, поэтому тот факт, что наблюдение белой туфельки может ее подтвердить, не удивителен и не заслуживает внимания. Критерий Никода, по мнению Гуда, ложен, и поэтому парадоксальный вывод не следует.

Хемпель отверг это как решение парадокса, настаивая на том, что утверждение «c — ворон и черный» следует рассматривать «само по себе и без ссылки на какую-либо другую информацию», и указывая, что «в разделе 5.2(b) моей статьи в журнале Mind было подчеркнуто, что само появление парадоксальности в таких случаях, как случай с белой туфлей, частично является результатом несоблюдения этого принципа».

В связи с этим возникает вопрос: следует ли понимать этот парадокс в контексте полного отсутствия какой-либо фоновой информации (как предлагает Хемпель), или в контексте той фоновой информации, которой мы фактически располагаем относительно воронов и черных объектов, или же в отношении всех возможных конфигураций фоновой информации?

Гуд показал, что для некоторых конфигураций фоновых знаний критерий Никода ложен (при условии, что мы готовы приравнять «индуктивную поддержку» к «увеличению вероятности» — см. ниже). Оставалась вероятность того, что в отношении нашей фактической конфигурации знаний, которая сильно отличается от примера Гуда, критерий Никода может быть верен, и, следовательно, мы все еще можем прийти к парадоксальному выводу. Хемпель, с другой стороны, настаивает на том, что наши фоновые знания сами по себе являются отвлекающим фактором, и что мы должны рассматривать индукцию относительно условия полного неведения.

Ребенок Гуда

В предложенной резолюции Махер косвенно использовал тот факт, что утверждение «Все вороны черные» весьма вероятно, когда весьма вероятно, что воронов нет. Гуд ранее использовал этот факт, чтобы ответить на настойчивое утверждение Хемпеля о том, что критерий Никода следует понимать как справедливый в отсутствие фоновой информации:

...представьте себе новорожденного ребенка с бесконечным интеллектом, обладающего встроенными нейронными цепями, позволяющими ему оперировать формальной логикой, английским синтаксисом и субъективной вероятностью. Теперь, после подробного описания ворона, он мог бы утверждать, что крайне маловероятно, что вороны вообще существуют, и, следовательно, крайне вероятно, что все вороны черные, то есть, что H - правда. «С другой стороны, — продолжает он, — если существуют вороны, то есть разумная вероятность, что они бывают разных цветов. Поэтому, если бы я обнаружил, что существует даже чёрный ворон, я бы посчитал H менее вероятным, чем это было изначально.

По мнению Гуда, это максимально близко к состоянию полного неведения, которого можно разумно ожидать, и, похоже, условие Никода все еще ложно. Махер уточнил аргумент Гуда, используя теорию индукции Карнапа для формализации понятия, что если есть один ворон, то, вероятно, их много.

В своем рассуждении Махер рассматривает вселенную, состоящую ровно из двух объектов, каждый из которых с очень малой вероятностью является вороном (шанс один на тысячу) и с разумной вероятностью — черным (шанс один на десять). Используя формулу индукции Карнапа, он обнаруживает, что вероятность того, что все вороны черные, уменьшается с 0,9985 до 0,8995, когда обнаруживается, что один из двух объектов — черный ворон.

Махер приходит к выводу, что парадоксальный вывод не только верен, но и что критерий Никода ложен в отсутствие фоновых знаний (за исключением знания о том, что число объектов во Вселенной равно двум и что вороны встречаются реже, чем черные существа).